Question

11．若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-sin\frac{π}{2}x+1，0≤x≤2\\ f（x-1），x＞2\end{array}$，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是[-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 利用周期与对称性得出f（x）的函数图象，根据交点个数列出不等式得出k的范围．

解答 解：∵当x＞2时，f（x）=f（x-1），
∴f（x）在（1，+∞）上是周期为1的函数，
作出y=f（x）的函数图象如下：

∵方程f（x）=kx恰有3个不同的根，
∴y=f（x）与y=kx有三个交点，
若k＞0，则$\left\{\begin{array}{l}{3k≤1}\\{4k＞1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{4}$＜k≤$\frac{1}{3}$，
若k＜0，由对称性可知-$\frac{1}{3}$≤k＜-$\frac{1}{4}$．
故答案为：[-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，属于中档题．