Question

设x、y是两个实数，给出下列五个条件：①x+y＞1；②x+y=2；③；x+y＞2；④x²+y²＞2；⑤xy＞1．其中能推出“x、y中至少有一个数大于1”的条件是

③

．

Answer 1

分析：此题用举反例一一排除即可得答案．若x=

1

2

，y=

2

3

，则x+y＞1，但x＜1，y＜1，故①推不出；若x=y=1，则x+y=2，故②推不出；若x=-2，y=-3，则x²+y²＞2，故④推不出；若x=-2，y=-3，则xy＞1，故⑤推不出；利用反证法可证得③正确．

解答：解：若x=

1

2

，y=

2

3

，则x+y＞1，但x＜1，y＜1，故①错；
若x=y=1，则x+y=2，故②错；
若x=-2，y=-3，则x²+y²＞2，故④错；
若x=-2，y=-3，则xy＞1，故⑤错；
对于③即x+y＞2，则x，y中至少有一个大于1，正确．
反证法：假设x≤1且y≤1，
则x+y≤2与x+y＞2矛盾，
因此假设不成立，x，y中至少有一个大于1．
故答案为：③．

点评：本题考查不等关系与不等式、充要条件、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．