Question

正四面体ABCD的外接球的表面积为4π，则A与B两点的球面距离为（　　）

• A．arccos(-

  1

  4

  )
• B．arccos(

  1

  3

  )
• C．arccos(-

  3

  3

  )
• D．arccos(-

  6

  3

  )

Answer 1

分析：根据正四面体ABCD的外接球的表面积为4π，求得正四面体ABCD的外接球的半径为1，从而可求正四面体ABCD的棱长，进而求得球心角，即可求得A与B两点的球面距离．

解答：解：设正四面体ABCD的外接球的球心为O，则O在面ABC上的射影为△ABC的中心，
设△ABC的边长为a，则正四面体ABCD的高为

a2-( 3 3 a)2

=

6

3

a
∵正四面体ABCD的外接球的表面积为4π，
∴正四面体ABCD的外接球的半径为1
∵正四面体的高等于外接球的半径加上球心到面的距离
∴1+

1 -( 3 3 a)2

=

6

3

a
∴a=

2 6

3

∴cos∠AOB=

1+1-( 2 6 3 )2

2×1×1

=-

1

3

∴A与B两点的球面距离为arccos(

1

3

)
故选B．

点评：本题考查球面距离，考查球的内角几何体，解题的关键是确定球心角．