Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c，若不等式f（x）＜2x的解集为（-2，0）．
（1）求b，c的值；
（2）若函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，求g（x）的解析式；
（3）若h（x）=f（x）-λg（x）在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用x=0，x=2是x²+（b-2）x+c=0的两个根，
（2）根据g（x）=-f（-x）求解即可．
（3）h（x）=f（x）-λg（x）=（1+λ）x²+（4-4λ）x，利用二次函数的对称轴，开口方向判断即可，得出
当λ=-1时，h（x）=8x，在[-1，1]上是增函数，

1+λ＞0 - 4-4λ 2(1+λ) ≤-1

或

1+λ＜0 - 4-4λ 2(1+λ) ≥1

，求解即可．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=x²+bx+c，若不等式f（x）＜2x的解集为（-2，0）．
x=0，x=2是x²+（b-2）x+c=0的两个根
∴b=4，c=0，
（2）f（x）=x²+4x，
∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，
g（x）=-f（-x）=-x²+4x，
（3）∵h（x）=f（x）-λg（x）=（1+λ）x²+（4-4λ）x，
当λ=-1时，h（x）=8x，在[-1，1]上是增函数，
当λ≠-1时，在[-1，1]上是增函数，
∴

1+λ＞0 - 4-4λ 2(1+λ) ≤-1

或

1+λ＜0 - 4-4λ 2(1+λ) ≥1

，
即-1＜λ≤

1

3

或λ＜-1，
综上：λ≤

1

3

点评：本题综合考查了二次函数的性质，运用求解函数解析式，参变量的值的问题，属于中档题，关键是转化问题求解．