Question

已知函数f(x)＝－x³＋ax²－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．

Answer 1

－13

求导得f′(x)＝－3x²＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知
f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x³＋3x²－4，
f′(x)＝－3x²＋6x，
易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，
f(m)_min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x²＋6x的图像开口向下，
且对称轴为x＝1，
∴当n∈[－1,1]时，
f′(n)_min＝f′(－1)＝－9.
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.