Question

7．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C，D两点．存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，则k=（　　）

• A． $\frac{7}{6}$
• B． -$\frac{7}{6}$
• C． 3
• D． 6

Answer 1

分析 通过点到直线AB：bx-ay-ab=0的距离及离心率的值可知椭圆方程，将直线y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E即数量积为0，即可求得结论．

解答 解：∵A（0，-b）、B（a，0），
∴直线AB的方程为：bx-ay-ab=0，
依题意，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{|0-0-ab|}{\sqrt{{b}^{2}+（-a）^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a²=3，b²=1，
∴椭圆C方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y、整理得：（1+3k²）x²+12kx+9=0，
∴x_C+x_D=-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，x_Cx_D=$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
∵以CD为直径的圆过E点，
∴$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{ED}$=0，即（x_C+1，y_C）•（x_D+1，y_D）=0，
∴（x_C+1）（x_D+1）+y_Cy_D=0，
∴（1+k²）x_Cx_D+（2k+1）（x_C+x_D）=0，
∴（1+k²）•$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$+（2k+1）（-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$）=0，
解得：k=$\frac{7}{6}$，
故选：A．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程利用韦达定理求解．注意解题方法的积累，属于中档题．