Question

（2012•虹口区一模）已知

bc

a

，

ac

b

，

ab

c

成等差数列，则①ac≥b²；②b²≥ac；③

|a|+|c|

2

≥|b|中，正确的是

③

．（填入序号）

Answer 1

分析：由条件可得

2ac

b

=

bc

a

+

ab

c

，整理可得 2a²c²=b²（a²+c²）≥b²•2ac，讨论ac的符号可得①、②都不正确．
再由基本不等式、不等式的传递性质可得③正确，从而得出结论．

解答：解：根据题意，a、b、c都不为0，∵已知

bc

a

，

ac

b

，

ab

c

成等差数列，∴

2ac

b

=

bc

a

+

ab

c

，
整理可得 2a²c²=b²c²+a²b² =b²（a²+c²）≥b²•2|ac|．
当ac＞0时，ac≥b² 正确，当ac＜0时，b²≥ac，当ac=0时，b²=ac，
故有 ①和②都不正确．
由2a²c² ≥b²•2|ac|，可得 b²≤|ac|，即

|ac|

≥|b|．
再由基本不等式可得

|a|+|c|

2

≥

|ac|

以及不等式的传递性得 ③

|a|+|c|

2

≥|b| 正确．
故答案为 ③．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，基本不等式、不等式的性质的应用，属于中档题．