Question

17．已知a＞0，设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$，x∈[0，1]函数g（x）=ax+5-2a，x∈[0，1]．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域M和函数g（x）的值域N
（Ⅱ）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可考虑分子分母同除以x²，从而讨论x：x=0时，得到f（x）=0；x≠0时，可得到$f（x）=\frac{1}{（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$，这样根据x∈（0，1]便可求出$\frac{1}{x}$的范围，根据二次函数的单调性从而得到$（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$的范围，从而得出f（x）的范围，即f（x）的值域M=$[0，\frac{1}{2}]$．对于g（x），由a＞0便得到一次函数g（x）为增函数，从而可以得出g（x）的值域N为：[5-2a，5-a]；
（Ⅱ）首先根据题意知道f（x）的值域M是g（x）的值域N的子集，从而解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{5-2a≤0}\\{5-a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）（1）求f（x）的值域：①若x=0，f（x）=0；
②若x≠0，则f（x）=$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}}=\frac{1}{（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$；
0＜x≤1；
∴$\frac{1}{x}≥1$；
∴$（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}≥（1+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}=2$；
∴$0＜\frac{1}{（\frac{1}{x}+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}≤\frac{1}{2}$；
∴f（x）的值域M=$[0，\frac{1}{2}]$；
（2）求g（x）的值域：①a=0时，g（x）=5；
∴N={5}；
∵a＞0，g（x）在[0，1]上单调递增；
∴g（0）≤g（x）≤g（1）；
即5-2a≤g（x）≤5-a；
∴N=[5-2a，5-a]；
（Ⅱ）根据题意知，M⊆N；
∵a＞0，N=[5-2a，5-a]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{5-2a≤0}\\{5-a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
解得$\frac{5}{2}≤a≤\frac{9}{2}$；
∴实数a的取值范围为$[\frac{5}{2}，\frac{9}{2}]$．

点评 考查函数值域的概念，配方法求二次函数的值域，不等式性质的应用，以及一次函数的单调性，子集的概念，对于f（x）的值域不要漏了x=0的函数值．