Question

已知⊙C的圆心在x轴上，直线y=x截⊙C所得弦长为2，且⊙C过点(2，

5

)．
（1）求⊙C方程；
（2）设P（x，y）为⊙C上任一点，求（x-1）²+（y+3）²的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用直线y=x截⊙C所得弦长为2，且⊙C过点(2，

5

)，求出圆心坐标与半径，从而可求⊙C方程；
（2）利用圆的参数方程，设出点的坐标，即可求（x-1）²+（y+3）²的最大值．

解答：解：（1）设圆心（a，0），则
∵直线y=x截⊙C所得弦长为2，且⊙C过点(2，

5

)
∴(

|a|

2

)2+12=(a-2)2+5，解得a=4，
∴所求圆的方程为（x-4）²+y²=9
（2）设

x=4+3cosθ y=3sinθ

，故（x-1）²+（y+3）²=（3+3cosθ）²+（3sinθ+3）²
=9（3+2sinθ+2cosθ）=9[3+2

2

sin(θ+

π

4

)]≤27+18

2

∴（x-1）²+（y+3）²的最大值为27+18

2

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的标准方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．