Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．E、F分别为线段AB、D₁C上的点．
（Ⅰ）若E、F分别为线段AB、D₁C的中点，求证：EF∥平面AD₁；
（Ⅱ）已知二面角D₁-EC-D的大小为

π

6

，求AE的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证EF∥平面AD₁，可利用平面EFG∥平面AD₁进行证明，取DC的中点G，连接FG，GE，而FG∥DD₁，DD₁?平面AD₁，根据线面平行的判定定理可知FG∥平面AD₁，同理可证GE∥平面AD₁，且FG∩GE=G，从而平面EFG∥平面AD₁，EF?平面EFG，根据面面平行的性质可知EF∥平面AD₁；
（Ⅱ）根据D₁D⊥平面ABCD，过D在平面ABCD内作DH⊥EC于H，连接D₁H，而DH是D₁H在平面ABCD内的射影，则∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角，在△DHD₁中，根据tan∠DHD₁值求出DH，根据面积求出EC，最后根据EC²=1+EB²求出所求即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：取DC的中点G，连接FG，GE．
∵FG∥DD₁，DD₁?平面AD₁，
∴FG∥平面AD₁．
同理：GE∥平面AD₁，且FG∩GE=G，
∴平面EFG∥平面AD₁，EF?平面EFG，
∴EF∥平面AD₁．
（Ⅱ）D₁D⊥平面ABCD，过D在平面ABCD内作DH⊥EC于H，连接D₁H．
∵DH是D₁H在平面ABCD内的射影，
∴D₁H⊥EC．
∴∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角．
即∠DHD₁=

π

6

．
在△DHD₁中，tan∠DHD₁=

3

3

，
∴DH=

3

，S_△DEC=

1

2

×2×1=

1

2

×EC×

3

，
∴EC=

2 3

3

，
∴EC²=1+EB²，
∴EB=

3

3

，
∴AE=2-

3

3

．

点评：本题主要考查了平面与平面平行的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，同时考查了空间想象能力、分析推理能力，属于中档题．