Question

如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=2．现将△ACD沿AC折起，使平面ABD⊥平面ABC，设E为AB中点，则异面直线AC和DE所成角的余弦值为

5

5

．

Answer 1

分析：由△ABD⊥平面ABC，CB⊥AB，知∠ADB=∠CBD=90°，过E点作EF∥AC，连接DE和DF，则∠DEF就是异面直线AC和DE所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AC和DE所成角的余弦值．

解答：解：∵△ABD⊥平面ABC，CB⊥AB，
∴CB⊥BD，∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB=∠CBD=90°，
过E点作EF∥AC，连接DE和DF，
∵在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，∴AC=2

5

，BD=2

3

，
∴EF=

1

2

AC=

5

，DE=

1

2

AB=2，DF=

13

，
在△DEF中，DE=2，EF=

5

，DF=

13

，
根据余弦定理，得：cos∠DEF=

4+5-13

2×2× 5

=-

5

5

，
∴异面直线AC和DE所成角的余弦值为

5

5

．
故答案为：

5

5

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．