Question

7．一动圆与圆${F_1}：{（x+1）^2}+{y^2}=9$内切，与圆${F_2}：{（x-1）^2}+{y^2}=1$外切．
（1）求动圆圆心M的轨迹L的方程；
（2）设过圆心F₂的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A，B两点，请问△ABF₁的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圆${F_1}：{（x+1）^2}+{y^2}=9$内切，与圆${F_2}：{（x-1）^2}+{y^2}=1$外切，可得|MF₁|+MF₂|=4，由椭圆定义知M在以F₁，F₂为焦点的椭圆上，从而可得动圆圆心M的轨迹L的方程；
（2）表示出三角形的面积，利用换元法，结合函数的单调性，求得最值，即可求得结论．

解答 解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，由题意，得|MF₁|=R+1，|MF₂|=3-R，
所以|MF₁|+MF₂|=4，由椭圆定义知M在以F₁，F₂为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3．
动圆圆心M的轨迹L的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
则${S_{△AB{F_1}}}=\frac{1}{2}|{F_1}{F_2}||{y_1}-{y_2}|=|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}\\{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}\end{array}\right.$，${S_{△AB{F_1}}}=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{\frac{36}{{{{（3{m^2}+4）}^2}}}+\frac{36}{{3{m^2}+4}}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$，
令$t=\sqrt{{m^2}+1}$，则t≥1，且m²=t²-1，有${S_{△AB{F_1}}}=\frac{12t}{{3{t^2}+1}}=\frac{4}{{t+\frac{{\frac{1}{3}}}{t}}}$，
∵$f（t）=t+\frac{{\frac{1}{3}}}{t}$在[1，+∞）递增，∴$f（t）＞f（1）=\frac{4}{3}$，
∴${S_{△AB{F_1}}}≤3$，此时t=1，m=0，
∴存在直线l：x=1，△ABF₁的面积最大值为3．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确运用椭圆的定义，利用韦达定理解题．