Question

已知数列{a_n}满足

1

2

a1+

1

22

a2+

1

23

a3+…+

1

2n

an=2n+1则{a_n}的通项公式

 

．

Answer 1

分析：根据所给的关系式，仿写一个有n-1项的关系式，注意这个关系式的条件是n大于1，两个式子相减得到只含有第n项的式子，整理出结果，注意对于首相的验证，写成分段形式．

解答：解：∵数列{a_n}满足

1

2

a1+

1

22

a2+

1

23

a3+…+

1

2n

an=2n+1，①
∴当n≥2时，仿仿写一个式子

1

2

a1+

1

22

a2+…+

1

2n-1

 an-1 =2n-1   ②
①-②得

1

2n

an=2，
∴a_n=2ⁿ⁺¹n≥2，
当n=1时，a₁=6，
∴{a_n}的通项公式 a_n=

6    (n=1) 2n+1

(n≥2)
故答案为：a_n=

6    (n=1) 2n+1

(n≥2)

点评：本题考查递推式，仿写是解决本题的关键，注意题目最后对于首项的验证，当首项符合通项时，直接写出通项就可以，当不符合时要写成分段形式．