Question

已知向量

m

=(cosα-

2

3

，-1)，

n

=(sinα，1)

m

∥

n

且α∈(-

π

2

，0)
（1）求sinα-cosα的值．
（2）求

1+sin2α+cos2α

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量平行的性质求得sinα和cosα的关系式，平方后利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求得sin2α，进而利用配方法求得（sinα-cosα）²的值，根据α的范围确定sinα-cosα的正负，答案可得．
（2）利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系对原式化简整理求得结果为1+cos2α，根据sinα+cosα和sinα-cosα的值，利用二倍角公式求得cos2α的值，代入原式求得答案．

解答：解：（1）∵

m

=(cosα-

2

3

，-1)，

n

=(sinα，1)且

m

∥

n

∴cosα-

2

3

+sinα=0
即sinα+cosα=

2

3

?sin2α=-

7

9

?(sinα-cosα)2=1-sin2α=

16

9

又∵α∈（-

π

2

，0），∴sinα＜0，cosα＞0
∴sinα+cosα=

2

3

，sinα-cosα=-

4

3

（2）∵

1+sin2α+cos2α

1+tanα

=

2cos2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=

2cosα(cosα+sinα)

1 cosα (cosα+sinα)

=2cos²α=1+cos2α
又∵sinα+cosα=

2

3

，sinα-cosα=-

4

3

∴cos2α=-(sin2α-cos2α)=-(sinα-cosα)(sinα+cosα)=

4 2

9

∴原式=1+

4 2

9

点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，两角和公式和二倍角公式的化简求值，同角三角函数的基本关系的应用．解题过程中一定要注意根据角的范围对三角函数的正负进行判定．