Question

1．设函数y=2sin²x+2acosx+2a-1的最大值是-$\frac{1}{2}$．
（1）求a的值；
（2）求y取最大值时x的集合．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域，二次函数的性质求得y的最大值，再根据最大值为-$\frac{1}{2}$，求得a的值．
（2）由（1）可得函数的解析式，再利用二次函数的性质求得y取最大值时x的集合．

解答 解：（1）令t=cosx∈[-1，1]，则y=1-2t²+2acosx+2a=-2${（t-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$+2a+1，
当-1＜$\frac{a}{2}$＜1时，则y的最大值为 $\frac{{a}^{2}}{2}$+2a+1=-$\frac{1}{2}$，求得a=-1．
当$\frac{a}{2}$≥1时，y的最大值为-${（1-\frac{a}{2}）}^{2}$+2a+1=-$\frac{1}{2}$，a无解．
当$\frac{a}{2}$≤-1时，y的最大值为-${（-1-\frac{a}{2}）}^{2}$+2a+1=-$\frac{1}{2}$，a无解．
综上可得，a=-1．
（2）由（1）可得函数的解析式为y=-2${（t-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{2}$+2a+1=-2${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$，t∈[-1 1]，
故当t=-$\frac{1}{2}$时，函数y取得最大值为-$\frac{1}{2}$，此时，t=cosx=-$\frac{1}{2}$，∴x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，或x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
故y取最大值时x的集合为{x|x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，或x=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，余弦函数的值域，二次函数的性质，属于中档题．