Question

【题目】在△ABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c．已知acosB﹣ b= ﹣ ．
（1）求角A；
（2）若a= ，求b+c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：在△ABC中，∵acosB﹣ b= ﹣ ，由正弦定理可得：acosB﹣ b= ﹣ ，

∴由余弦定理可得：a× ﹣ b= ﹣ ，整理可得：a2=c2+b2﹣bc，

∴cosA= = ，

∵A∈（0，π），

∴A= ．

（2）解：∵由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，则3=b2+c2﹣bc，

∴（b+c）2﹣3bc=3，

即3bc=（b+c）2﹣3≤3[ （b+c）]2，

化简得，（b+c）2≤12（当且仅当b=c时取等号），

则b+c≤2 ，

又∵b+c＞a= ，

综上得，b+c的取值范围是（ ，2 ]

【解析】（1）由余弦定理化简已知可得a2=c2+b2﹣bc，根据余弦定理可求cosA= ，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．（2）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．