Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：
①M={(x，y)|y=

1

x

}   ②M={（x，y）|y=e^x-2}   ③M={（x，y）|y=cosx}    ④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序号是（　　）

A．①②④

B．②③④

C．③④

D．①③④

Answer 1

分析：对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②通过特例，满足好集合的定义，画出函数的图象即可判断正误；
对于③通过特例，满足好集合的定义，画出函数的图象即可判断正误；
对于④通过函数的定义域与函数的值域的范围，即可判断正误；

解答：解：对于①y=

1

x

是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，所以不满足好集合的定义，不是好集合．
对于②M={（x，y）|y=e^x-2}，如图（2）如图红线的直角始终存在，对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如取M（0，-1），则N（ln2，0），满足好集合的定义，
所以是好集合；正确．
对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足好集合的定义，所以M是好集合；正确．
对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．

所以②③正确．
故选C．

点评：本题考查好集合的定义，利用对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．