Question

18．设f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{3}{2}$，且x＜0时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）解不等式f（x）+f（x-1）＞3．

Answer 1

分析 （1）赋值令x=y=0，则可求f（0）的值；令y=-x，结合f（0）的值，可得结论；
（2）利用单调性的定义，结合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．
（3）根据函数的单调性以及抽象函数的关系将不等式进行转化即可．

解答 解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
令y=-x，得 f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），故函数f（x）是R上的奇函数
（2）f（x）是R上的减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，即f（x₁-x₂）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x₁-x₂+x₂）=f（x₂）-f（x₂）-f（x₁-x₂）=-f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）是R上的减函数．
（3）∵f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{3}{2}$，
∴f（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=3，
即f（$\frac{2}{3}$）=3，
则不等式f（x）+f（x-1）＞3等价为f（x+x-1）＞f（$\frac{2}{3}$）．
即f（2x-1）＞f（$\frac{2}{3}$）．
∵f（x）是R上的减函数．
∴2x-1＜$\frac{2}{3}$．
即2x＜$\frac{5}{3}$．
即x＜$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键．