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8.存在最小的合数n,使得2n-1≡1(modn)成立,则n的值为(  )
A.327B.341C.331D.355

分析 若2n-1 mod n=1,则2n-1-1 mod n=0,进而可得${2}^{\frac{n-1}{2}}-1$必为质数,即$\frac{n-1}{2}$为质数,逐一分析四个答案,可得结论.

解答 解:1 mod n=1恒成立,
若2n-1 mod n=1,则2n-1-1 mod n=0,
则n必为奇数,
则n-1为偶数,
故2n-1-1=(${2}^{\frac{n-1}{2}}+1$)(${2}^{\frac{n-1}{2}}-1$) mod n=0,
由n使满足2n-1≡1(modn)成立的最小合数,
则${2}^{\frac{n-1}{2}}-1$必为质数,则$\frac{n-1}{2}$为质数,
当n=327时,$\frac{n-1}{2}$=163是质数,满足条件;
当n=341时,$\frac{n-1}{2}$=170不是质数,不满足条件;
当n=331时,$\frac{n-1}{2}$=165不是质数,不满足条件;
当n=355时,$\frac{n-1}{2}$=177不是质数,不满足条件;
故选:A

点评 本题考查的知识点是同余与整除,其中正确理解${2}^{\frac{n-1}{2}}-1$必为质数,即$\frac{n-1}{2}$为质数,是解答的关键.

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