Question

某远洋捕渔船到远海捕鱼,由于远海渔业资源丰富,每撒一次网都有w万元的收益;同时,又由于远海风云未测,每撒一次网存在遭遇沉船事故的可能,其概率为(常数k为大于1的正整数).假定,捕鱼船吨位很大,可以装下n次撒网所捕的鱼,而在每次撒网时,发生不发生沉船事故与前一次撒网无关,若发生沉船事故,则原来所获的收益将随船的沉没而不存在,又已知船长计划在此处撒网n次.

(1)当n=3时,求捕鱼收益的期望值;

(2)试求n的值,使这次远洋捕鱼收益的期望值达到最大.

Answer 1

解:(1)列表:

收益	0	3ω
P	1-(1)3	(1)3

所以收益的期望值=3w(1)³.

(2)列表:

收益	0	nω
P	1-(1)n	(1)n

因此,撒了n次网收益的期望值等于f(n)=wn(1)ⁿ.

f(n+1)=w(n+1)(1)ⁿ⁺¹=wn(1)ⁿ(1)=f(n)［1+］.

∵［1+］≥1等价于(k-1)-n≥0,得n≤k-1,

∴当n＜k-1时,f(n+1)＞f(n);当n=k-1时,f(n+1)=f(n);当n＞k-1时,f(n+1)＜f(n);

因此,当n=k-1时,f(n)达到最大.