Question

如图，平行四边形ABCD和矩形ADEF，平面ABCD⊥平面ADEF，AD=2AB，P为BC的中点，M在AF上且AM=2MF，DP交AC与N点．
（1）求证：MN∥平面BCEF；
（2）若四边形ABCD为矩形，且AF=AB，求DM与平面MAP所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结CF，由已知得MN∥∥CF，由此能证明MN∥平面BCEF．
（2）取AD的中点为O，取EF的中点为Q，以OP，OA，OQ为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DM与平面MAP所成角的正弦值．

解答： 解：（1）证明：连结CF，
∵PC∥AD，
∴

CN

NA

=

PC

AD

=

1

2

，
∴

FM

MA

=

CN

NA

，
∴MN∥CF，
又MN?平面BCEF，
∴MN∥平面BCEF．

（2）解：由题意，取AD的中点为O，取EF的中点为Q，
以OP，OA，OQ为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB=3，AM=2，则A（0，3，0），
M（0，3，2），P（3，0，0），D（0，-3，0），

MA

=(0，0，-2)，

MP

=(3，-3，-2)，

DM

=（0，6，2），
设平面MAP的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • MA =-2z=0 n • MP =3x-3y-2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，1，0），
设DM与平面MAP所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

DM

，

n

＞|=|

6

2 • 40

|=

3 5

10

，
∴DM与平面MAP所成角的正弦值为

3 5

10

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．