Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形DCFE为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC= ，AB=2BC=2，且AC⊥FB．
（1）求证：平面EAC⊥平面FCB；
（2）若线段AC上存在点M，使AE∥平面FDM，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△ABC中，

∵AC= ，AB=2BC=2，

∴AC2+BC2=AB2．

∴AC⊥BC．

又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，

∴AC⊥平面FBC．

∵AC平面平面EAC，

∴平面EAC⊥平面FCB．

（2）解：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，

证明如下：

连接CE与DF交于点N，连接MN．

由 CDEF为正方形，得N为CE中点．

∴EA∥MN．

∵MN平面FDM，EA平面FDM，

∴EA∥平面FDM．

所以线段AC上存在点M，且 =1，使得EA∥平面FDM成立．

【解析】（1）推导出AC⊥BC，AC⊥FB，从而AC⊥平面FBC，由上能证明平面EAC⊥平面FCB．（2）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，连接CE与DF交于点N，连接MN．则EA∥MN．由此推导出线段AC上存在点M，且 =1，使得EA∥平面FDM成立．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．