Question

【题目】已知函数f（x）=2cos2x+sin2x﹣4cosx．
（1）求 的值；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： = ；
（2）解：f（x）=2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cosx

=3cos2x﹣4cosx﹣1

= ，

因为cosx∈[﹣1，1]，

所以当cosx=﹣1时，f（x）取最大值6；当 时，取最小值﹣ ．

【解析】（1）把x= 代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值求出即可；（2）利用同角三角函数间的基本关系把sin2x变为1﹣cos2x，然后利用二倍角的余弦函数公式把cos2x变为2cos2x﹣1，得到f（x）是关于cosx的二次函数，利用配方法把f（x）变成二次函数的顶点式，根据cosx的值域，利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最大值和最小值即可．
【考点精析】掌握二倍角的余弦公式和三角函数的最值是解答本题的根本，需要知道二倍角的余弦公式：；函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．