Question

（本小题满分12分）如图：已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，过BD₁的平面分别交棱AA₁和棱CC₁于E、F两点。（1）求证：A₁E=CF； （2）若E、F分别是棱AA₁和棱CC₁的中点，求证：平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁。

Answer 1

(Ⅰ)见解析   (Ⅱ)  见解析

（1）由题知，平面EBFD₁与平面BCC₁B₁交于
BF、与平面ADD₁A交于ED₁…………1分
又平面BCC₁B₁//平面ADD₁A₁∴D₁E//BF …………2分
同理BE//D₁F  ………………3分∴四边形EBFD₁为平行四边形
∴D₁E="BF " ……4分∵A₁D₁==CB，D₁E=BF，∠D₁A₁E=∠BCF=90°
∴≌Rt△CBF∴A₁E="CF  " ………………6分
（2）∵四边形EBFD₁是平行四边形。AE=A₁E，FC=FC₁，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE=BF，故四边形EBFD₁为菱形。………………8分
连结EF、BD₁、A₁C₁。∵四边形EBFD₁为菱形，∴EF⊥BD₁，
在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，有B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D⊥A₁A
∴B₁D₁⊥平面A₁ACC₁。  ………………10分
又EF平面A₁ACC₁，∴EF⊥B₁D₁。又B₁D₁∩BD₁=D₁，
∴EF⊥平面BB₁D₁。
又EF平面EBFD₁，故平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁。 ………………12分