Question

已知定义在正实数集R上的函数y=f（x）满足：①对任意a，b∈R都有f（a•b）=f（a）+f（b）②当x＞1时，f（x）＜0   ③f（3）=-1
（1）求f（1）的值
（2）证明函数y=f（x）在R上为单调减函数
（3）若集合A={（p，q）|f（p²+1）-f（5q）-2＞0，p，q∈R+}，集合B={（p，q）|f（

p

q

）+

1

2

=0，p，q∈R₊}，问是否存在p，q，使A∩B≠∅，若存在，求出p，q的值，不存在则说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接令a=1，b=1代入f（a•b）=f（a）+f（b）即可得到结论；
（2）先根据f（a•b）=f（a）+f（b）得到f（x）=-f（

1

x

）；再结合x＞1时，f（x）＜0以及单调性的定义即可得到答案；
（3）先分别利用f（3）=-1把两个集合进行转化，再结合一元二次不等式的解法即可得出结论．

解答：解：（1）令a=1，b=1，∵f（a•b）=f（a）+f（b）；
∴f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
（2）证明，设a，b为任意正实数，且0＜a＜b，
∴

b

a

＞1．
∴f（

b

a

）=f（b）+f（

1

a

），
∵f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0
∴f（x）=-f（

1

x

）；
∴f（

b

a

）=f（b）+f（

1

a

）=f（b）-f（a）＜0；
即f（b）＜f（a）；
故函数y=f（x）在R上为单调减函数．
（3）解∵f（p²+1）-f（5q）-2＞0，由（2）知f（x）=-f（

1

x

）；
∴f（p²+1）+f（

1

5q

）＞2；
∴f（

p2+1

5q

）＞2；
又f（3）=-1，
∴f（

1

3

）=1
∴f（9）=-2；
∴f（

1

9

）=2；
∴f（

p2+1

5q

）＞2=f（

1

9

）；
∴

p2+1

5q

＜

1

9

     ①
又∵f（

p

q

）+

1

2

=0；
∴f（

p

q

）+

1

2

f（

1

3

）=0；
f（

p

q

）+f（

1

3

）=0；
∴

p

3 q

=1，p=

3

q；     ②
由①②整理得：27q²-5q+9＜0不成立，
∴不存在p，q，使A∩B≠∅．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查用赋值法求函数值，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，属于较高难度的题目．