Question

7．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为4；表面积为12+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由三视图可知该几何体为：用平面EFGHMN截边长为2的正方体所得到的几何体，由正方体的性质求出正六边形的边长，由正六边形的性质求出正六边形的面积、正六棱锥的高，由直观图和椎体的体积公式求出该几何体的体积、表面积．

解答 解：由三视图可知该几何体为：
用平面EFGHMN截边长为2的正方体所得到的几何体，
直观图如图所示：
其中六边形EFGHMN是正六边形，边长为$\sqrt{2}$，
则六边形EFGHMN的面积是$6×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$3\sqrt{3}$，
∵由图得，正方体截去3个相同的三棱锥：C-BEF、C-DMN、C-GHC′，
一个正六棱锥C-EFGHMN，侧棱长是$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
高是$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴该几何体的体积V=$2×2×2-3×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$-$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\sqrt{3}$
=8-1-3=4，
由图得，几何体的上下面积之和，前后面积之和，左右面积之和均为正方体的一个面的面积．
∴该几何体的表面积：S=2²×3+$3\sqrt{3}$=12+3$\sqrt{3}$，
故答案为：4；12+3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查由三视图求几何体的体积以及表面积，正六边形的面积、正六棱锥的高求法，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．