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2.试推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程:$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$.

分析 设两定点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),动点P(x,y)到两定点F1,F2)距离之和为定值2a(a>c),代入两点间距离公式,化简可得椭圆的标准方程.

解答 解:到两定点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)距离之和为定值2a(a>c)的点P的轨迹为椭圆.…(2分)
设P(x,y),则$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=\sqrt{{y^2}+{{(x+c)}^2}}+\sqrt{{y^2}+{{(x-c)}^2}}$,
∴所以$2a-\sqrt{{y^2}+{{(x+c)}^2}}=\sqrt{{y^2}+{{(x-c)}^2}}$…(4分)
∴${(2a-\sqrt{{y^2}+{{(x+c)}^2}})^2}={\sqrt{{y^2}+{{(x-c)}^2}}^2}$
∴$4{a^2}+{y^2}+{(x+c)^2}-4a\sqrt{{y^2}+{{(x+c)}^2}}={y^2}+{(x-c)^2}$
∴$4{a^2}+{y^2}+{(x+c)^2}-4a\sqrt{{y^2}+{{(x+c)}^2}}={y^2}+{(x-c)^2}$
∴$a+\frac{c}{a}x=\sqrt{{y^2}+{{(x+c)}^2}}$(由定义可得x∈[-a,a],所以$a+\frac{c}{a}x>0)$…(6分)
∴${a^2}+2cx+\frac{c^2}{a^2}{x^2}={y^2}+{(x+c)^2}$
∴${y^2}+\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}{x^2}={a^2}-{c^2}$,即$\frac{y^2}{{{a^2}-{c^2}}}+\frac{x^2}{a^2}=1$,
因为a>c,不妨令a2-c2=b2
∴焦点在x轴上的椭圆的标准方程:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$.…(12分)

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程,两点间距离公式,通过移项将等式两边各有一个根号,从而简单方程是解答的关键.

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