Question

15．已知函数f（x）=xlnx+ax²-1，且f'（1）=-1．
（1）求a的值；
（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）-mx≤-1，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，利用f'（1）=-1，求解即可．
（2）设g（x）=lnx-x，则$g'（x）=\frac{1}{x}-1$，判断函数的单调性，求出最值即可得到结果．

解答 解：（1）对f（x）求导，得f'（x）=1+lnx+2ax，
所以f'（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
（2）由f（x）-mx≤-1，得xlnx-x²-mx≤0，
因为x∈（0，+∞），所以对于任意x∈（0，+∞），都有lnx-x≤m．
设g（x）=lnx-x，则$g'（x）=\frac{1}{x}-1$，
令g'（x）=0，解得x=1，
当x变化时，g（x）与g'（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	增	极大值	减

所以当x=1时，g（x）_max=g（1）=-1，
因为对于任意x∈（0，+∞），都有g（x）≤m成立，所以m≥-1，
所以m的最小值为-1．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．