Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=﹣1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），

当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0，

当a＜0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）

当a＞0时，由f′（x）＞0解得 或 ；

由f′（x）＜0解得 ，

当a＞0时，f（x）的单调增区间为 ；

f（x）的单调减区间为

（2）解：因为f（x）在x=﹣1处取得极大值，

所以f′（﹣1）=3×（﹣1）2﹣3a=0，∴a=1．

所以f（x）=x3﹣3x﹣1，f′（x）=3x2﹣3，

由f′（x）=0解得x1=﹣1，x2=1．

由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=1，

在x=1处取得极小值f（1）=﹣3．

因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，

结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（﹣3，1）

【解析】（1）先确求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间是增区间，fˊ（x）＜0的区间是减区间．（2）先根据极值点求出a，然后利用导数研究函数的单调性，求出极值以及端点的函数值，观察可知m的范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．