Question

15．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1²=S_n+1+S_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_2n-1•2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1²=S_n+1+S_n，利用递推关系可得a_n+1²-${a}_{n}^{2}$=a_n+1+a_n，由于a_n+1+a_n＞0，可得a_n+1-a_n=1．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1²=S_n+1+S_n，∴当n≥2时，${a}_{n}^{2}$=S_n+S_n-1，可得a_n+1²-${a}_{n}^{2}$=a_n+1+a_n，
∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）b_n=a_2n-1•2${\;}^{{a}_{n}}$=（2n-1）•2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$2×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．