Question

19．求函数f（x）=a^x+|1-a^x|（a＞0且a≠1）的最小值．

Answer 1

分析 运用绝对值的含义，讨论当1-a^x＞0，当1-a^x≤0，化简f（x）的解析式，再由a＞1，0＜a＜1，运用指数函数的单调性即可得到最小值．

解答 解：当1-a^x＞0，即a^x＜1时，
函数f（x）=a^x+1-a^x=1，无最小值；
当1-a^x≤0，即a^x≥1时，
函数f（x）=a^x-1+a^x=2a^x-1，
当a＞1时，x≥0，函数f（x）递增，
当x=0时，f（0）为最小值1；
当0＜a＜1时，x≤0，f（x）递减，
当x=0时，取得最小值，且为1．
则函数f（x）的最小值为1．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用指数函数的单调性和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．