Question

若直线ax+2by-2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，则

1

a

+

2

b

的最小值为

3+2

2

，ab的取值范围是

(0，

1

4

]

．

Answer 1

分析：先求出圆的圆心坐标，由于直线平分圆的周长，所以直线恒过圆心，从而有a+b=1，再将

1

a

+

2

b

表示为

1

a

+

2

b

=(

1

a

+

2

b

)(a+b)，利用基本不等式可求．

解答：解：x²+y²-4x-2y-8=0可化为：（x-2）²+（y-1）²=13，∴圆的圆心是（2，1）
∵直线平分圆的周长，所以直线恒过圆心（2，1）
把（2，1）代入直线ax+2by-2=0，得a+b=1
∴

1

a

+

2

b

=(

1

a

+

2

b

)(a+b)=3+

b

a

+

2a

b

∵a＞0，b＞0，
∴

1

a

+

2

b

=(

1

a

+

2

b

)(a+b)=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

2

0≤ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

故答案为：3+2

2

，(0，

1

4

]

点评：本题的考点是直线和圆的方程的应用，主要考查圆的对称性，考查利用基本不等式求最值，关键是利用“1”的代换．