Question

8．若$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$为不共线的向量，则P，A，B三点共线的充要条件为$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$且λ+μ=1．

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{PA}$=（1-λ）$\overrightarrow{OA}$-$μ\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{PB}$=（1-μ）$\overrightarrow{OB}-λ\overrightarrow{OA}$，再由三点P、A、B三点共线，得到$\overrightarrow{PA}=n\overrightarrow{PB}$，由此能求出结果．

解答 解：$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}-λ\overrightarrow{OA}-μ\overrightarrow{OB}$
=（1-λ）$\overrightarrow{OA}$-$μ\overrightarrow{OB}$，
$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}-λ\overrightarrow{OA}-μ\overrightarrow{OB}$
=（1-μ）$\overrightarrow{OB}-λ\overrightarrow{OA}$，
∵三点P、A、B三点共线，∴$\overrightarrow{PA}=n\overrightarrow{PB}$，
∴（1-λ）$\overrightarrow{OA}$-$μ\overrightarrow{OB}$=n[（1-μ）$\overrightarrow{OB}-λ\overrightarrow{OA}$]，
∴$\frac{-μ}{1-μ}=\frac{1-λ}{-λ}$，
∴λ+μ=1．
故答案为：λ+μ=1．

点评 本题考查平面上三点共线的充要条件的求法，是基础题，解题时要注意平面向量的运算法则和性质的灵活运用．