Question

【题目】已知抛物线的焦点为为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有．当点横坐标为时，为正三角形．

（1）求的方程；

（2）若直线，且和 有且只有一个公共点．

①证明直线过定点，并求出定点坐标；

②的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析，；②存在，．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的值，即可求解抛物线的方程；（2）①设出点的坐标，求出直线的方程，利用，且和有且只有一个公共点，求出点的坐标，写出直线的方程，将方程化为点斜式，即可求解定点的坐标；②中由①知直线过焦点，所以．设直线的方程为，再由直线的点斜式，利用点到直线的距离公式，再利用基本不等式即可求解结论．

试题解析：（1）由题意知，设，则的中点为，因为，由抛物线的定义知，解得或（舍去）．由，解得，所以抛物线的方程为．

（2）①证明：由（1）知，设，因为，则，由得，，故，故直线的斜率，因为直线和直线平行，设直线的方程为，代人抛物线的方程得，由题意，得，设，则，当时，，可得直线的方程为，由，整理可得，直线恒过点．当时，直线的方程为,过点．所以直线过定点．

②由①知直线过焦点，所以．设直线的方程为，因为点在直线上，故，设，直线的方程为，由，得，代人抛物线的方程得，所以，可求得．所以点到直线的距离为，则的面积，当且仅当，即时，等号成立．所以的面积的最小值为．