Question

对于数列{u_n}若存在常数M＞0，对任意的n∈N⁺，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n1|+…+|u₂-u₁|≤M则称数列u_n为B^-数列
（1）首项为1，公比为-

1

2

的等比数列是否为B-数列？请说明理由；
（2）设s_n是数列{x_n}的前n项和，给出下列两组判断：
A组：①数列{x_n}是B-数列．      ②数列{x_n}不是B-数列．
B组  ③数列{s_n}是B-数列．      ④数列{s_n}不是B-数列
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3）若数列{a_n}是B^-数列，证明：数列{a_n²}也是B^-数列．

Answer 1

分析：（1）根据B-数列的定义，首项为1，公比为q=

1

2

的等比数列，验证|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M即可；
（2）首项写出两个命题，根据B-数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；
（3）数列{a_n}都是B-数列，则有|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M₁下面只需验证|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤M．

解答：解：（1）设满足题设的等比数列为a_n，
则an=(-

1

2

)n-1．
于是|an-an-1|  =|(-

1

2

)n-1-(-

1

2

)n-2|=

3

2

×(

1

2

)n-2n≥2
|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|
=

3

2

×[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]
=3×[1-(

1

2

)n] ＜3，所以首项为1，公比为-

1

2

的等比数列是B-数列．
（2）命题1：若数列x_n是B-数列，
则数列S_n是B-数列．此命题为假命题．
事实上设x_n=1（n∈N^*），易知数列x_n是B-数列，但S_n=n，
|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|=n．
由n的任意性知，数列S_n不是B-数列．
命题2：若数列S_n是B-数列，
则数列x_n不是B-数列．此命题为真命题．
事实上，因为数列S_n是B-数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N^*，
有|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M，
即|x_n+1|+|x_n|+…+|x₂|≤M．
于是|x_n+1-x_n|+|x_n-x_n-1|+…+|x₂-x₁|≤|x_n+1|+2|x_n|+2|x_n-1|+…+2|x₂|+|x₁|≤2M+|x₁|，
所以数列x_n是B-数列．
（3）若数列是{a_n}B-数列，则存在正数M，对任意的n∈N^*有
|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M
因为|a_n|=|a_n-a_n-1+a_n-1+a_n-2+…+a₂-a₁+a₁|≤|a_n-a_n-1|+|a_n-1-a_n-2|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M+|a₁|
记K=M+|a₁|，则有|a_n+1²-a_n²|=|（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
≤（|a_n+1|+|a_n|）|a_n+1-a_n|≤2K|a_n+1-a_n|
因此|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤2KM
故数列{a_n²}是B-数列．

点评：考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）（3）的设置，增加了题目的难度，同时也考查了等差数列的定义和分类讨论的思想，属难题．