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设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题:
①存在一条定直线与所有的圆均相切;
②存在一条定直线与所有的圆均相交;
③存在一条定直线与所有的圆均不相交;
④所有的圆均不经过原点.
其中真命题的代号是    (写出所有真命题的代号).
【答案】分析:根据圆的方程找出圆心坐标,发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上,所以这条直线与所有的圆都相交,②正确;根据图象可知这些圆互相内含,不存在一条定直线与所有的圆均相切,不存在一条定直线与所有的圆均不相交,所以①③错;利用反证法,假设经过原点,将(0,0)代入圆的方程,因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,假设错误,则圆不经过原点,④正确.
解答:解:根据题意得:圆心(k-1,3k),
圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有圆都相交,选项②正确;
考虑两圆的位置关系,
圆k:圆心(k-1,3k),半径为k2
圆k+1:圆心(k-1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径为(k+1)2
两圆的圆心距d==
两圆的半径之差R-r=(k+1)2-k2=2k+
任取k=1或2时,(R-r>d),Ck含于Ck+1之中,选项①错误;
若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项③错误;
将(0,0)带入圆的方程,则有(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),
因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆不过原点,选项④正确.
则真命题的代号是②④.
故答案为:②④
点评:本题是一道综合题,要求学生会将直线的参数方程化为普通方程,会利用反证法进行证明,会利用数形结合解决实际问题.
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②存在一条定直线与所有的圆均相交;
③存在一条定直线与所有的圆均不相交;
④所有的圆均不经过原点.
其中真命题的代号是
 
(写出所有真命题的代号).

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②存在一条定直线与所有的圆均相交;
③存在一条定直线与所有的圆均不相交;
④所有的圆均不经过原点.
其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号).

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②存在一条定直线与所有的圆均相交;
③存在一条定直线与所有的圆均不相交;
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③存在一条定直线与所有的圆均不相交;
④所有的圆均不经过原点.
其中真命题的代号是    (写出所有真命题的代号).

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