Question

(附加题)
（1）自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA中点，过M引割线交圆于B，C两点．
求证：∠MCP=∠MPB．
（2）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD的四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），经矩阵表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边形A₁B₁C₁D₁，问：四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁的面积是否相等？试证明你的结论．
（3）已知A是曲线ρ=12sinθ上的动点，B是曲线上的动点，试求AB的最大值．
（4）设p是△ABC内的一点，x，y，z是p到三边a，b，c的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明．

Answer 1

（1）证明：∵AM切圆于点A，
∴AM²=MBMC
又∵M为PA中点，AM=MP，
∴MP²=MBMC，
∴
∵∠BMP=∠PMC，
∴△BMP∽△PMC，
∴∠MCP=∠MPB．
（2）四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），
经矩阵表示的变换作用后，
四边形ABCD变为四边形A₁B₁C₁D₁顶点坐标为
A₁（0，1），B₁（2，2k+1），C₁（2，2k+3），D₁（0，2），
四边形A₁B₁C₁D₁仍为梯形，且上、下底及高都不变，故面积相等；
（3）曲线ρ=12sinθ化为直角坐标方程为 x²+（y﹣6）²=36，
表示以（0，6）为圆心，以6为半径的圆．
曲线化为直角坐标方程为
x²+y²=6x+6y，即 （x﹣3）²+（y﹣3）²=36，
表示以（3，3 ）为圆心，以6为半径的圆．
两圆的圆心距的平方为 （0﹣3 ）²+（6﹣3）² =36，
故两圆相交，线段AB长的最大值为6+r+r'=18．
（4）连接P与三角形的三个顶点，分成的三个小三角形面积的和等于大三角形，
即（ax+by+cz）=S，
∴ax+by+cz=2S=
∴=×+×+×
≤×[++]
=×（）=×
=×