Question

（2009•成都二模）已知曲线y=2sinx与曲线y=ax²+bx+

3

的一个交点P的横坐标为

2π

3

，且两曲线在交点P处的切线与两坐标轴围成的四边形恰好有外接圆，则a与b的值分别为（　　）

• A．a=

  3

  π

  ，b=1
• B．a=

  3

  π

  ，b=-1
• C．a=-

  3

  2π

  ，b=1
• D．a=

  3

  2π

  ，b=-1

Answer 1

分析：先根据条件求出点P的坐标，再代入曲线y=ax²+bx+

3

上得到关于a与b的一个关系式；求出两切线方程，再结合两曲线在交点P处的切线与两坐标轴围成的四边形恰好有外接圆对应的两切线斜率乘积为-1得到关于于a与b的另一个关系式，联立两个关系式即可求出答案．

解答：解：因为点P横坐标

2π

3

，
点P在y=2sinx上，因此点P坐标是（

2π

3

，

3

）；
点P在y=ax²+bx+

3

上，因此有

2π

3

a+b=0①
y=2sinx在点P处的切线的斜率为2cos

2π

3

=-1，
因为两切线与两坐标轴围成的四边形恰有外接圆，且P点在第一象限．
因此两切线垂直（有外接圆的四边形对角和为180度）．即两切线斜率乘积为-1．
因此，y=ax²+bx+

3

在点P处的斜率为1．
又y′=2ax+b可以得出其在点P处的斜率为2a×

2π

3

+b=1 ②．
由①②得：

a= 3 2π b=-1

．
故选：D．

点评：本题主要考查圆內接多边形的性质与判定以及利用导数研究曲线上某点切线方程．解决本题的关键在于结合两曲线在交点P处的切线与两坐标轴围成的四边形恰好有外接圆得到对应的两切线斜率乘积为-1．