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已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
分析:(I)设动圆的半径为R,由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切,可得|PM|+|PN|=R+1+(3-R)=4,而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,求出即可;
(II)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤4-2=2,所以R≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x-2)2+y2=4.分①l的倾斜角为90°,此时l与y轴重合,可得|AB|.②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,根据
|QP|
|QM|
=
R
r1
,可得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4),与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出.
解答:解:(I)由圆M:(x+1)2+y2=1,可知圆心M(-1,0);圆N:(x-1)2+y2=9,圆心N(1,0),半径3.
设动圆的半径为R,
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切,∴|PM|+|PN|=R+1+(3-R)=4,
而|NM|=2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,
∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3.
∴曲线C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1
.(去掉点(-2,0))
(II)设曲线C上任意一点P(x,y),
由于|PM|-|PN|=2R-2≤4-2=2,所以R≤2,当且仅当⊙P的圆心为(2,0)R=2时,其半径最大,其方程为(x-2)2+y2=4.
①l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2
3

②若l的倾斜角不为90°,由于⊙M的半径1≠R,可知l与x轴不平行,
设l与x轴的交点为Q,则
|QP|
|QM|
=
R
r1
,可得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4),
由l于M相切可得:
|3k|
1+k2
=1
,解得k=±
2
4

k=
2
4
时,联立
y=
2
4
x+
2
x2
4
+
y2
3
=1
,得到7x2+8x-8=0.
x1+x2=-
8
7
x1x2=-
8
7

∴|AB|=
1+k2
|x2-x1|
=
1+(
2
4
)2
(-
8
7
)2-4×(-
8
7
)
=
18
7

由于对称性可知:当k=-
2
4
时,也有|AB|=
18
7

综上可知:|AB|=2
3
18
7
点评:本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识,需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法.
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3
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4
+
y2
3
=1
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4
+
y2
3
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