Question

对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f(x)，y＝g(x)，规定：函数h(x)＝

(1)若函数f(x)＝，g(x)＝x2，写出函数h(x)的解析式；

(2)求问题(1)中函数h(x)的值域．

 

Answer 1

(1) h(x)＝ (2) h(x)值域(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)

【解析】(1)Df＝{x|x≠1}，Dy＝R.

当x＝1时，h(x)＝x2＝1；

当x≠1时，h(x)＝f(x)g(x)＝，

∴h(x)＝

(2)当x＝1时，h(1)＝1；

当x≠1时，

方法一：h(x)＝＝

＝x－1＋＋2；

当x＞1时，h(x)≥4，等号成立条件x＝2；

当x＜1时，h(x)＝－＋2≤0，

等号成立条件x＝0，

∴h(x)值域(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．

方法二：y＝，x2－yx＋y＝0.

∵x∈R且x≠1，则关于x的方程有实根，

∴Δ＝y2－4y≥0，∴y≥4或y≤0，

∴h(x)值域(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．