Question

(本题满分13分)
已知直线与椭圆相交于A、B两点．
（Ⅰ）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（Ⅱ）若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率 时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）椭圆的方程为 ，

 ；
（II）长轴长的最大值为．

本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
（1）根据题意的几何性质，得到系数a,b,c的关系式，进而得到椭圆的方程的求解。
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后分析向量的数量积为零表示垂直，以及结合椭圆的离心率的范围得到所求。
解：（Ⅰ）   
∴椭圆的方程为                            ……………………… 2分
联立


                                 …………………… 6分
（II）

 整理得 

整理得：
代入上式得
 

由此得,故长轴长的最大值为．……… 13分