【题目】三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为 ,且他们是否破译出密码互不影响. (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率;
(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由.
【答案】解:记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3),
依题意有 ,
且A1,A2,A3相互独立.
(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件B,则有
B=A1A2 +A1 A3+ A2A3,
且A1A2 ,A1 A3, A2A3彼此互斥
于是P(B)=P(A1A2 )+P(A1 A3)+P( A2A3)
=
= .
答:恰好二人破译出密码的概率为 .
(Ⅱ)设“密码被破译”为事件C,“密码未被破译”为事件D.
D= ,且 , , 互相独立,则有
P(D)=P( )P( )P( )= = .
而P(C)=1﹣P(D)= ,
故P(C)>P(D).
答:密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.
【解析】根据题意,记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3),分析可得三个事件的概率且三个事件相互独立;(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件B,则B包括彼此互斥的A1A2 A1 A3+ A2A3,由互斥事件的概率公式与独立事件的乘法公式计算可得答案;(Ⅱ)设“密码被破译”为事件C,“密码未被破译”为事件D,则D= ,由独立事件的乘法公式计算可得D的概率,再由对立事件的概率公式可得C的概率,比较可得答案.
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【题目】给出以下四个说法: ①绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距;
②在刻画回归模型的拟合效果时,相关指数R2的值越大,说明拟合的效果越好;
③设随机变量ξ服从正态分布N(4,22),则p(ξ>4)=
④对分类变量X与Y,若它们的随机变量K2的观测值k越小,则判断“X与Y有关系”的把握程度越大.
其中正确的说法是( )
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
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【题目】下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,均值与方差都不变;
②设有一个回归方程 ,变量x增加一个单位时,y平均增加3个单位;
③线性回归方程 必经过点 ;
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说现有100人吸烟,那么其中有99人患肺病.其中错误的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】据气象中心观察和预测:发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度与时间的函数图像如图所示,过线段上一点作横轴的垂线,梯形在直线左侧部分的面积即为内沙尘暴所经过的路程.
(1)当时,求的值;
(2)将随变化的规律用数学关系式表示出来;
(3)若城位于地正南方向,且距地650,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到城?如果不会,请说明理由.
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【题目】某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得10分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中3人答对的概率分别为 , , ,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用ξ表示乙队的总得分. (Ⅰ)求ξ的分布列和数学期望;
(Ⅱ)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
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【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,F是PB的中点.求证:
(1)DF⊥AP.
(2)在线段AD上是否存在点G,使GF⊥平面PBC?若存在,说明G点的位置,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
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【题目】随机调查某社区80个人,以研究这一社区居民的休闲方式是否与性别有关,得到下面的数据表:
休闲方式 | 看电视 | 运动 | 合计 |
男性 | 20 | 10 | 30 |
女性 | 45 | 5 | 50 |
合计 | 65 | 15 | 80 |
(1)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查3名在该社区的男性,设调查的3人是以运动为休闲方式的人数为随机变量X,求X的分布列和期望;
(2)根据以上数据,能否有99%的把握认为休闲方式与性别有关系?
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:K2= ),其中n=a+b+c+d)
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【题目】设m∈R,函数f(x)=ex﹣m(x+1) m2(其中e为自然对数的底数)
(Ⅰ)若m=2,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)已知实数x1 , x2满足x1+x2=1,对任意的m<0,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,求x1的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)有一个极小值点为x0 , 求证f(x0)>﹣3,(参考数据ln6≈1.79)
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