Question

8．如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB中点，PA=AD=2，AB=1．
（1）求证：PD∥面ACM；
（2）求V_D-PMC．

Answer 1

分析 （1）连结BD，设BD与AC交于点O，连结OM，利用中位线定理及线面平行的判定定理即可；
（2）通过线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABCD，M为PB中点，V_D-PMC=$\frac{1}{2}$V_D-PBC=$\frac{1}{2}$V_P-DBC，计算即可．

解答 （1）证明：连结BD，设BD与AC交于点O，连结OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O为BD的中点，
∵M为PB的中点，∴OM为△PBD的中位线，
∴OM∥PD，
∵OM?平面ACM，PD?平面ACM，
∴PD∥平面ACM；
（2）解：∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，
∴AD⊥平面PAB，∴PA⊥AD，
∵PA⊥AB，且AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD，
∵M为PB中点，
∴V_D-PMC=$\frac{1}{2}$V_D-PBC=$\frac{1}{2}$V_P-DBC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2×$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，棱锥体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．