Question

14．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+1$，
（1）当$a=-\frac{5}{3}，D=[-1，3]$时，求函数f（x）在D上的上界的最小值；
（2）记函数g（x）=f′（x），若函数$y=g[{（\frac{1}{2}）^x}]$在区间D=[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出M的值；
（2）求出函数g（x）的导数，问题转化为$-\frac{2}{t}-\frac{t}{2}≤a≤\frac{1}{t}-\frac{t}{2}$在区间t∈（0，1]上恒成立．  记 $p（t）=-\frac{2}{t}-\frac{t}{2}，q（t）=\frac{1}{t}-\frac{t}{2}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）因为$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+1$，$a=-\frac{5}{3}，D=[-1，3]$，
得${f^/}（x）={x^2}-\frac{10}{3}x+1=0$，…（1分）
得x=3或$\frac{1}{3}$，…（2分）
故可得函数f（x）在区间$[-1，\frac{1}{3}]$上单调递增，区间$[\frac{1}{3}，3]$是单调递减．   …（3分）
因为$f（-1）=-2，f（\frac{1}{3}）=\frac{94}{81}，f（3）=-2$，
所以$-2≤f（x）≤\frac{94}{81}$，…5分|f（x）|≤2，故有上界M≥2，即上界的最小值是2．…（7分）
（2）因为g（x）=x²+2ax+1，…（8分）
故有函数$y=g[{（\frac{1}{2}）^x}]={[{（\frac{1}{2}）^x}]^2}+2a{（\frac{1}{2}）^x}+1$，
令${（\frac{1}{2}）^x}=t$，因为x∈[0，+∞），得t∈（0，1]．
因为函数$y=g[{（\frac{1}{2}）^x}]$在区间x∈[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，
得|g（t）|≤3在区间t∈（0，1]上恒成立，
即-3≤t²+2at+1≤3，…（11分）
得$-\frac{2}{t}-\frac{t}{2}≤a≤\frac{1}{t}-\frac{t}{2}$在区间t∈（0，1]上恒成立．  …（12分）
记 $p（t）=-\frac{2}{t}-\frac{t}{2}，q（t）=\frac{1}{t}-\frac{t}{2}$，
当t∈（0，1]时，$p（t）=-\frac{2}{t}-\frac{t}{2}$单调递增，
所以$p{（t）_{max}}=-\frac{5}{2}$；$q（t）=\frac{1}{t}-\frac{t}{2}$单调递减，$q{（t）_{min}}=\frac{1}{2}$，
所以实数a的取值范围是$-\frac{5}{2}≤a≤\frac{1}{2}$．       …（15分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．