Question

1．如图，已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$经过点$P（1，\frac{3}{2}）$，离心率$e=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），直线AB与直线l：x=4相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，求证：k₁，k₃，k₂成等差数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程即可得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）求得椭圆右焦点坐标，设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，结合等差数列中项，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由点$P（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上得，$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$①$又e=\frac{1}{2}，所以\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$②
由①②得c²=1，a²=4，b²=3，
故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…．（4分）
（Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标F（1，0），显然直线AB斜率存在，
设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）③…．（5分）
代入椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
整理得（4k²+3）x²-8k²x+4（k²-3）=0…．（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{k^2}-3）}}{{4{k^2}+3}}$④…．（7分）
在方程③中，令x=4得，M（4，3k），从而${k_1}=\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}-1}}，{k_2}=\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_{_2}}-1}}$，${k_3}=\frac{{3k-\frac{3}{2}}}{4-1}=k-\frac{1}{2}$，…．（9分）
又因为A、F、B共线，则有k=k_AF=k_BF，
即有$\frac{y_1}{{{x_1}-1}}=\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=k$，
所以k₁+k₂=$\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}-1}}$=$\frac{y_1}{{{x_1}-1}}+\frac{y_2}{{{x_2}-1}}-\frac{3}{2}（\frac{1}{{{x_1}-1}}+\frac{1}{{{x_2}-1}}）$
=2k-$\frac{3}{2}•\frac{{{x_1}+{x_2}-2}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}$⑤
将④代入⑤得k₁+k₂=$2k-\frac{3}{2}\;•$$\frac{{\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}-2}}{{\frac{{4（{k^2}-3）}}{{4{k^2}+3}}-\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+1}}=2k-1$，…（12分）
又${k_3}=k-\frac{1}{2}$，
所以k₁+k₂=2k₃，即k₁，k₃，k₂成等差数列．…．（13分）

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，直线的斜率公式和等差数列中项性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．