Question

已知函数f（x）=sinx，x∈R
（1）函数g（x）=2sinx•（sinx+cosx）-1的图象可由f（x）的图象经过怎
样的平移和伸缩变换得到；
（2）设h(x)=f(

π

2

-2x)+4λf(x-

π

2

)，是否存在实数λ，使得函数h（x）
在R上的最小值是-

3

2

？若存在，求出对应的λ值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据三角函数的降幂公式和两角和公式对函数g（x）=2sinx•（sinx+cosx）-1进行化简，根据左加右减和伸缩变换的原则即可得到答案；
（2）根据三角函数的降幂公式和两角和公式对函数h(x)=f(

π

2

-2x)+4λf(x-

π

2

)进行化简，转化为二次函数在区间[-1，1]的最值问题，即可求得结果．

解答：解：（1）g（x）=2sin²x+sin2x-1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
先将f（x）的图象向右平移

π

4

个单位长度得到y=sin(x-

π

4

)的图象；
再将y=sin(x-

π

4

)图象上各点的横坐标变为原来的

1

2

倍，得到
函数y=sin(2x-

π

4

)的图象；最后将曲线上各点的纵坐标变为
原来的

2

倍得到函数g（x）的图象．
（2）h（x）=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1=2（cosx-λ）²-2λ²-1
∴

λ＜-1 1+4λ=- 3 2

或

-1≤λ≤1 -2λ2-1=- 3 2

或

λ＞1 1-4λ=- 3 2

∴λ=±

1

2

．

点评：本题注意考查三角函数的恒等变形，以及图象的平移变换和伸缩变换，以及二次函数在定区间上的最值问题，体现了转化的思想和方法，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．