Question

10．已知双曲线$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，若E上存在点P使△F₁F₂P为等腰三角形，且其顶角为$\frac{2π}{3}$，则$\frac{a^2}{b^2}$的值是（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意，可得∠PF₂x=60°，|PF₂|=2c，P（2c，$\sqrt{3}$c），代入双曲线的方程可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即可求出$\frac{a^2}{b^2}$的值．

解答 解：由题意，可得∠PF₂x=60°，|PF₂|=2c，
∴P（2c，$\sqrt{3}$c），
代入双曲线的方程可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴4b⁴-3a⁴=0，
∴$\frac{a^2}{b^2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．