Question

(东北师大附中模拟)如下图，在直角梯形中，，，，BC=3，，A是的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面折起到平面PAB的位置，使二面角P—CD—B成45°．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：证明：(1)∵AB⊥PA，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD． ∵AB∥DC，DC⊥平面PAD． ∴DC⊥PD，DC⊥AD，∴∠PDA为二面角P－CD－B的平面角．　　　　(3分) 故∠PDA=45°．∵PA=AD=3， ∴∠APD=45°．∴PA⊥AD． 又PA⊥AB，∴PA⊥平面ABCD．　　　　(6分) (2)证法一：延长DA，CE交于点N，连结PN， 由折叠知PE=NE，又∵E为中点，∴NE=CE． ∴PE=NE=CE，PN⊥PC． 又由(1)知PN⊥PD． ∴∠CPD为二面角C－PN－D的平面角．　　　　(9分) 在直角三角形PDC中，，∴∠CPD=30°． 即平面PEC和平面PAD所成锐二面角为30°．　　　　(12分) 证法二：如图建立空间直角坐标系A－xyz， 则P(0，0，3)，D(0，3，0)，E，C． ∴，， 设n=(x，y，z)为平面PEC的法向量，则 ， 又平面PAD的法向量， ∴． ∴，即所求二面角为30°．