【题目】函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等,请选择适当的探究顺序,研究函数的性质,并在此基础上填写下表,作出f(x)在区间[-π,2π]上的图象.
性质 | 理由 | 结论 | 得分 |
定义域 | |||
值域 | |||
奇偶性 | |||
周期性 | |||
单调性 | |||
对称性 | |||
作图 |
【答案】详见解析
【解析】
由正弦函数的最大最小值,可得函数的定义域为R;由平方法结合余弦函数的有界性,得到函数的值域为[,2];由函数周期性的定义加以验证,得到函数的最小正周期为π;讨论函数在区间[0,π]上的单调性,结合函数的周期可得函数在R上的单调区间;最后根据函数奇偶性的定义和轴对称的有关公式,算出f(x)在其定义域上为偶函数,图象关于直线对称.由此即可得到本题的答案.
∵1-sinx≥0且1+sinx≥0,在R上恒成立
∴函数的定义域为R;
∵=2+2|cosx|
∴由|cosx|∈[0,1],f2(x)∈[2,4],可得函数的值域为[,2];
∵=f(x)
∴函数的最小正周期为π
∵当x∈[0,]时,=2cos,在[0,]上为减函数
当x∈[,π]时,=2sin,在[,π]上为增函数
∴f(x)在上递增,在上递减(k∈Z)
∵f(-x)=f(x)且,
∴f(x)在其定义域上为偶函数,结合周期为π得到图象关于直线对称
因此,可得如下表格:
性质 | 理由 | 结论 | 得分 |
定义域 | -1≤sinx≤1 | 定义域R | |
值域 | y2=2+2|cosx|∈[2,4] | 值域 | |
奇偶性 | f(-x)=f(x) | 偶函数 | |
周期性 | f(x+π)=f(x) | 周期T=π | |
单调性 | 在上递增, 在上递减(k∈Z) | ||
对称性 | f(-x)=f(x),,… | 关于直线对称(k∈Z) | |
作图 |
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且,则下列结论中正确的是__________.
①平面;
②平面平面;
③三棱锥的体积为定值;
④存在某个位置使得异面直线与成角.
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【题目】已知圆满足:①圆心在第一象限,截轴所得弦长为2;②被轴分成两段圆弧,其弧长的比为;③圆心到直线的距离为.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若点是直线上的动点,过点分别做圆的两条切线,切点分别为, ,求证:直线过定点.
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【题目】已知抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)直线l: 过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A,B两点,求A,B两点间的距离.
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【题目】已知函数f(x),g(x)满足关系g(x)=f(x)f(x+α),其中α是常数.
(1)设f(x)=cosx+sinx,,求g(x)的解析式;
(2)设计一个函数f(x)及一个α的值,使得;
(3)当f(x)=|sinx|+cosx,时,存在x1,x2∈R,对任意x∈R,g(x1)≤g(x)≤g(x2)恒成立,求|x1-x2|的最小值.
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