设函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)＝x0成立，则称以(x0，x0)为坐标的点为函数f(x)图像上的不动点．
(Ⅰ)若函数f(x)＝
图像上有两点关于原点对称的不动点，求a、b应满足的条件；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若a＝8，记函数f(x)图像上的两个不动点分别为A、B，M为函数图像上的另一点，且其纵坐标yM＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；
(Ⅲ)下述命题“若定义在R上的奇函数f(x)图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明，并举出一例；若不正确，请举一反例说明．
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解：(Ⅰ)若点(x0，y0)是不动点，则有f(x0)＝ 即x02＋(b－3)x0－a＝0．(*) 由题意，知(*)有两个根，且这两个根绝对值相等，符号相反，由韦达定理得 b－3＝0，且－a＜0 ∴b＝3，且a＞0 而f(x)＝ 故a、b应满足b＝3，a＞0且a≠9． (Ⅱ)由(Ⅰ)，当a＝8，f(x)＝ 令x＝ ∴直线AB的方程是y＝x． 设点M(x，y)，M到直线y＝x的距离为d，则 d＝ ＝ ＝ ∴当且仅当y－3＝ (Ⅲ)命题正确 由f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，取x＝0，得f(0)＝0即(0，0)为函数的一个不动点． 设函数f(x)除0以外还有不动点(x，x)(x≠0)，则f(x)＝x． 又f(－x)＝－f(x)＝－x，故(－x，－x)也为函数不动点． 综上若定义在R上的奇函数f(x)图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个． 例如f(x)＝x3－x． |
提分百分百检测卷单元期末测试卷系列答案
小学期末标准试卷系列答案科目：高中数学 来源：2004年高考教材全程总复习试卷·数学 题型：044
设函数f(x)＝x＋
，x∈[0，＋∞)
(1)当a＝2时，求f(x)的最小值．
(2)当0＜a＜1时，判断f(x)的单调性，并写出f(x)的最小值．
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科目：高中数学 来源：2004全国各省市高考模拟试题汇编(天利38套)·数学 题型：044
设函数f(x)＝x2－2mx＋m2＋1(m∈R+)，g(x)＝x＋
(k∈R+)．
(1)当x∈(0，∞)时，f(x)和g(x)都满足：存在实数a，使f(x)≥f(a)，g(x)≥g(a)且f(a)＝g(a)－m．求f(x)和g(x)的表达式；
(2)(文科不做、理科做)对于(1)中的f(x)，设实数b满足|x－b|＜1．
求证：|f(x)－f(b)|＜2|b|＋5．
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科目：高中数学 来源：2004全国各省市高考模拟试题汇编(天利38套)·数学 题型：044
设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)
(1)若f(－1)＝0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式．
(2)(文)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
(理)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝xf(x)－kx是单调递增，求实数k的取值范围．
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科目：高中数学 来源：2004年高考教材全程总复习试卷·数学 题型：044
设函数f(x)＝x2＋ax＋lg|a＋1|(a≠－1，a∈R)
(1)求证：f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，并求出g(x)和h(x)的表达式．
(2)若f(x)和g(x)在区间[
|a＋1|，a2]上均为减函数，求a的取值范围．
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科目：高中数学 来源：成功之路·突破重点线·数学（学生用书） 题型：044
设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a、b∈R)
(1)若f(－1)＝0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式．
(2)在(1)条件下，当x∈[－2，2]，g(x)＝xf(x)－kx单调递增，求实数k的取值范围．
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＝x0，
＝3＋
，知a≠9．
．
，解得A(2
，2
)，B(－
，－
＝
＝
·
＝
·
＝
[(y＋3)＋
]
[(y－3)＋
＋6]≥
(2＋6)＝
．
即y＝4时，上式取等号，此时x＝－4．故M(－4，4)．